Wiskunde en moderne kunst
door E.W. Beth

Het komt voor dat een wijsgeer bij het betreden van een hem nog niet vertrouwd terrein de indruk heeft, uitsluitend gevolg te geven aan een plotselinge opwelling, niet of nauwelijks gemotiveerd, en dat hij er zich pas later rekenschap van geeft hoe dwingend de keuze van een nieuw objekt voor zijn bespiegeling hem was opgelegd uit hoofde van een reeds lang aanwezige gerichtheid van zijn filosofisch streven1). De studie die ik ruim een jaar geleden gewijd heb aan Modernisme in de wetenschap2) levert, zoals ik nu meen in te zien, van dit verschijnsel een kenmerkend voorbeeld.

Mijn wijsgerig streven is erop gericht, de voorwaarden te helpen scheppen voor een rationele beschouwing van de meest uiteenlopende gebieden van menselijke werkzaamheid en ondervinding. Tot dusver heb ik me in dit verband in hoofdzaak beziggehouden met de logika en met de grondslagen van verschillende wetenschapsgebieden. De zin van deze beperking zal weinig toelichting behoeven. De logika is nu eenmaal bij elke rationele beschouwing een kostbaar hulpmiddel en de fundering van de wetenschap leent zich gemakkelijker tot een rationele beschouwing dan welk ander gebied ook.

Ik zie echter zelf de zojuist bedoelde beperking als voorlopig. Ook andere gebieden van menselijke werkzaamheid en ondervinding moeten en kunnen naar mijn stellige overtuiging voor een rationele beschouwing toegankelijk worden gemaakt3).

Een dergelijke uitspraak pleegt beduchtheid en zelfs verzet te wekken en daarom wil ik reeds nu althans een poging doen, de op dit punt haast onvermijdelijke misverstanden te voorkomen. Een rationele beschouwing op het gebied van de kunst bijvoorbeeld kan naar mijn mening allerminst, zoals

men zich dat helaas wel vaak heeft voorgesteld, ten doel hebben, voorschriften op te stellen voor de vervaardiging van kunstwerken of maatstaven vast te leggen voor de beoordeling ervan. Ze heeft geen andere dan de zeer bescheiden strekking, de mogelijkheid te bevorderen van een redelijke gedachtenwisseling over vragen die bijvoorbeeld de vervaardiging en de beoordeling van kunstwerken betreffen.

Natuurlijk zal men de vraag stellen, op welke grond ik het wenselijk acht dat zulk een gedachtenwisseling wordt gevoerd op redelijke wijze, dat wil zeggen: in dier voege dat men zich beroept op de redelijkheid van de gesprekspartner, op zijn bereidheid, kennis te nemen van de opvattingen van de ander en in te gaan op de argumenten die tot staving van die opvattingen worden aangevoerd. Mijn antwoord op deze vraag kan kort zijn: ik geef de voorkeur aan redelijke gedachtenwisseling boven elke andere vorm van al dan niet wederkerige beïnvloeding, omdat zij de enige vorm van beïnvloeding is die de vrijheid van de medemens geen geweld aandoet.

Ik weet, het spreekt vanzelf, heel goed dat we niet onder alle omstandigheden met een beroep op de redelijkheid kunnen volstaan. Maar het beroep op ‘voorlichting’, op gezag, op dwang, op geweld, is steeds een concessie aan de feitelijke onredelijkheid van de medemens en het is dan ook met betrekking tot de hogere aangelegenheden van de geest volstrekt misplaatst.

Dit zijn geen onbekende klanken en ik besef dat men ze moeilijk kan herhalen zonder dat men zich blootstelt aan allerlei verwijten die tegen oudere vormen van rationalisme met een zeker recht konden worden aangevoerd. Toch wil ik weerstand bieden aan de neiging, mij voor dergelijke verwijten te vrijwaren, en liever snel terzake komen. De door mij gestelde eis van een rationale beschouwingswijze óók op het gebied van de kunst staat wel in bijzonder krasse tegenstelling tot de aard van de beschouwingen die op dit gebied tegenwoordig gangbaar zijn.

Uit de aard der zaak kan men op dit stuk niet alles naar éénzelfde maatstaf beoordelen. De scheppende kunstenaar die begrip tracht te wekken voor het artistieke streven van de groep waarvan hij de woordvoerder is, heeft het volste

recht, zich daarbij op aforistische, emotionele en suggestieve wijze uit te drukken. De kritikus die optreedt met de pretentie, het publiek over dit streven in te lichten, heeft een dergelijk recht niet; helaas echter is ook hier het beroep op een niet controleerbaar weten bij de auteur en op irrelevante emoties bij zijn publiek aan de orde van de dag.

In dit verband had, achteraf gezien, het thema van mijn eerder genoemde studie het grote voordeel dat het een rationele beschouwing als het ware uitlokt. De vraag naar de betrekkingen tussen de hedendaagse abstrakte wiskunde en de moderne abstrakte kunst is immers, daarover kan moeilijk verschil van mening bestaan, bij uitstek ongeschikt voor een niet-rationele behandeling.

Ik treed niet graag onnodig in herhaling en zou ditmaal het thema Wiskunde en moderne kunst daarom nog eens op andere wijze willen benaderen dan in mijn studie van verleden jaar. We kunnen, geloof ik, de werkelijke, mogelijke of vermeende betrekkingen tussen wiskunde en kunst in drie kategorieën onderbrengen, te weten:

1e.	Toepassingen van de wiskunde op het gebied van de kunst.
2e.	Ideeën4) die van nature aan wiskunde en kunst gemeen zijn.
3e.	Overneming van ideeën uit de wiskunde in de kunst.

In de onder 1e. bedoelde gevallen hebben we te maken met toegepaste wiskunde zoals die op veel grotere schaal ook in natuurwetenschap en techniek te vinden is. We zullen dergelijke gevallen vooral aantreffen in de bouwkunst die immers een sterk ‘technische’ inslag heeft. Deze gevallen behoeven voor ons niet van belang te zijn, omdat de toepassing van een stuk wiskunde niet noodzakelijk meebrengt dat de kunstenaar zich ook rekenschap geeft van de ideeën die eraan ten grondslag liggen. Ze kunnen echter wel van belang blijken inzoverre ze de aandacht van de kunstenaar kunnen vestigen op ideeën als onder 2e. en 3e. bedoeld. Ik vermoed zelfs dat zijn aandacht voor laatstbedoelde ideeën in de regel op deze wijze wordt gewekt; de aanstonds te noemen voorbeelden wijzen althans in deze richting.

Onder 2e. vallen ideeën als symmetrie en perspectief5).

Wat de idee der symmetrie betreft zal dit geen nadere toelichting behoeven, maar over de perspectief zou ik iets meer willen zeggen. Perspectivisch juiste weergave is weliswaar geen postulaat van algemene aesthetiek, maar de eis kan wel inherent zijn aan een bepaalde kunststijl6).

Een wiskundige leer der perspectief is niet nodig om de bedoelde eis te stellen en evenmin om er met een aesthetisch bevredigende graad van benadering aan te voldoen. Toch zal de kunstenaar natuurlijk bij een eventueel beschikbare leer der perspectief te rade gaan7), maar daarmee vallen we terug op een situatie als onder 1e. bedoeld. Omgekeerd echter zal ook de wiskundige geen aansporing van artistieke zijde nodig hebben om te komen tot de opbouw van een leer der perspectief.

Een indrukwekkend voorbeeld van wat onder 3e. bedoeld is ben ik helaas nooit tegengekomen. Daarom wil ik, zij het met aarzeling en voorbehoud, althans de gulden snede vermelden.8).

Natuurlijk kan men nog wel denken aan andere mogelijkheden dan aan de onder 1e.-3e. genoemde. Met name vermeld ik de mogelijkheid van overneming van ideeën uit de kunst in de wiskunde, en die van overneming van ideeën uit een derde gebied zowel in de wiskunde als in de kunst. Voorbeelden hiervan zou ik echter niet kunnen noemen, en bovendien zijn de hier terwille van de volledigheid genoemde mogelijkheden voor het concrete vraagstuk dat ons zal bezighouden van geringe betekenis, zoals we nog zullen zien.

 

Het feit dat vrijwel tegelijkertijd de wiskunde zich tot abstrakte wiskunde en de beeldende kunst zich tot abstrakte kunst ontwikkeld heeft wekt, samen met het wiskundig (of althans wiskundig aandoend) karakter van veel abstrakte kunst, het vermoeden van een zeker verband. Aan andere mogelijkheden dan de onder 1e.-3e. bedoelde mogelijkheden behoeven we hierbij niet te denken. Immers de moderne abstrakte wiskunde is tussen 1830 en 1850 ontstaan en dus ouder dan de abstrakte kunst; in overeenstemming hiermee heeft, zoals ik reeds opmerkte, veel abstrakte kunst een opvallend wiskundig karakter, terwijl anderzijds de abstrakte wiskunde geen sporen toont van beïnvloeding door de beel-

dende kunst. En tenslotte hebben de theoretici van de moderne abstrakte kunst bij herhaling naar de wiskunde verwezen9).

Nu wil ik in de eerste plaats ingaan op de vraag, of de ontwikkeling van de abstrakte kunst geheel of ten dele is toe te schrijven aan overneming van ideeën uit de abstrakte wiskunde. Vervolgens bespreek ik de mogelijkheid dat iets wat aangeduid moge worden als de idee der abstraktie aan wiskunde en beeldende kunst gemeen is en dat deze idee onder invloed van bepaalde omstandigheden zich op beide gebieden tegelijk heeft gemanifesteerd.

In mijn studie over Modernisme in de wetenschap viel de nadruk op de eerste vraag en ik wil daarom op dit punt thans met een korte samenvatting volstaan. De theoretische grondslagen van de abstrakte kunst waren voor een deel betrekkelijk gemakkelijk te achterhalen aan de hand van het bekende werk van H.L. Jaffé over De Stijl10). De verwijzingen naar de wiskunde hebben soms betrekking op wat thans klassieke wiskunde heet, soms op de ‘beeldende wiskunde’ van M.H.J. Schoenmaekers11) die in het geheel geen authentieke wiskunde is, maar nooit op de moderne abstrakte wiskunde12).

Buiten de Stijl-groep vinden we trouwens verwante denkbeelden. In Punkt und Linie zu Fläche (1926) van W. Kandinsky komen tal van verwijzingen naar de wiskunde voor. De vele figuren zijn echter in de regel wiskundig weinig significant en ze horen alle in de klassieke wiskunde thuis. In een ouder werk van deze auteur, Über das Geistige in der Kunst (1912), blijkt de wetenschap te worden vertegenwoordigd door figuren als H.P. Blavatsky, C. Flammarion en R. Steiner13). In zijn werk Über die moderne Kunst (1945) beperkt Paul Klee zich tot enkele zinspelingen op de meerdimensionale meetkunde en op H. Minkowski’s leer van het ruimte-tijdcontinuum14). Ook bij deze representatieve auteurs ontbreekt dus elke aanduiding van een rechtstreekse inwerking van de abstrakte wiskunde op de abstrakte kunst.

Vóór ik verder ga wil ik een poging doen, een dreigend misverstand te voorkomen. Het is geenszins mijn bedoeling, er de genoemde auteurs en kunstenaars een verwijt van te maken dat zij van de moderne abstrakte wiskunde geen studie hebben gemaakt en dat zij zich door haar niet hebben

laten inspireren in hun kreatief en publicistisch werk. Ik wil er uitsluitend op wijzen dat er geen feitelijke grondslag bestaat voor de vaak uitgesproken onderstelling van een inwerking van de abstrakte wiskunde op de abstrakte kunst.

Een beschouwing over een eventuele idee der abstraktie leidt evenwel tot een iets positiever en dus bevredigender resultaat. Ik moge hier even uitdrukkelijk vaststellen dat ik de term ‘abstrakt’ op naïeve wijze zal gebruiken, los van elke kennistheoretische fundering. In deze zin kunnen we bijvoorbeeld konstateren dat de figuren van de klassieke meetkunde ‘abstrakt’ zijn in vergelijking met de objekten uit onze ervaringswereld waaraan ze klaarblijkelijk beantwoorden. In dezelfde naïeve zin kunnen we vervolgens opmerken dat de ‘verzamelingen’ waarmee de moderne abstrakte wiskunde zich bezighoudt ‘abstrakt’ zijn in vergelijking met de figuren van de klassieke meetkunde. Een en ander schijnt de mening te bevestigen dat de idee der abstraktie aan het wiskundig denken inherent is en dat deze idee zich manifesteert in het steeds ‘abstrakter’ worden van de wiskundige objekten.

Met betrekking tot de kunst zou ik me willen beroepen op W. Worringer15) die in het ‘Kunstwollen’ als tegenpool van de ‘Einfühlungsdrang’ de ‘Abstraktionsdrang’ aanwijst. Met het opkomen van de wetenschap verliest de ‘Abstraktion’ haar greep op de kunst, en zo kan de klassieke kunst tot aanzijn komen. ‘Ihr Glück ist nicht mehr die starre Gesetzmässigkeit des Abstrakten, sondern die milde Harmonie des organischen Seins.’

Een verdringing van de klassieke kunstvormen door de abstrakte kunst, zoals die voor onze tijd kenmerkend lijkt, is met deze gedachte in haar oorspronkelijke gedaante niet wel te rijmen. Men kan echter aannemen, wat op grond van de door Worringer aangevoerde feiten zeker verantwoord lijkt, dat de idee der abstraktie evenals de idee der perspectief zowel aan de beeldende kunst als aan de wiskunde inherent is; er is dan m.i. geen dwingende reden, de mogelijkheid uit te sluiten dat deze idee na eeuwen van latente aanwezigheid op zeker ogenblik toch weer manifest wordt.

Maar ook al aanvaarden we deze mogelijkheid dan moeten we er toch van afzien, een diepere grond aan te wijzen of zelfs ook maar te zoeken voor het evenwijdige verloop van

de ontwikkeling op de gebieden van wiskunde en beeldende kunst. Immers, overzien we een langer tijdbestek dan handhaaft deze evenwijdigheid zich niet. Bij de wiskunde konstateren we een voortdurende toeneming van de abstraktie, de beeldende kunst daarentegen blijft schommelen tussen de beide polen, door Worringer aangeduid als ‘Einfühlung’ en ‘Abstraktion’.

 

Niettemin is bedoeld parallelisme voor velen een zeer geliefkoosd denkbeeld. In de eerste plaats natuurlijk voor hen die alles, wat zich gedurende een zeker tijdvak afspeelt op de verschillende gebieden der menselijke beschaving, als manifestaties van de éne ‘tijdgeest’ willen zien16). Maar ten tweede voor de apologeten van de hedendaagse kunst.

Wat de leer van de tijdgeest betreft zou ik alleen willen opmerken dat deze leer weliswaar veelal blijkt op te gaan als men de gelijktijdige ontwikkeling op aangrenzende gebieden vergelijkt, maar dat een vergelijking van gebieden die minder nauw verwant zijn vaak een volkomen averechtse uitslag oplevert. Onze beschouwingen over wiskunde en moderne kunst leveren daarvan een voorbeeld.

De apologetiek van de hedendaagse kunst is een uiterst merkwaardig verschijnsel dat ongetwijfeld een uitvoeriger onderzoek zou verdienen dan ik er thans aan heb kunnen wijden. In de regel kiest ze de leer van de tijdgeest tot uitgangspunt. Vervolgens wordt een keuze gedaan tussen twee soorten van redenering. Kiest men de eerste soort17), dan betoogt men verder dat kreatieve geesten hun tijd vooruit plegen te zijn en daarom in de regel door hun minder kreatieve tijdgenoten niet begrepen worden. Uit het feit dat voor bepaalde hedendaagse kunstuitingen weinig begrip blijkt te bestaan konkludeert men dan dat deze kunstuitingen van kreatieve geesten afkomstig moeten zijn. Klaarblijkelijk speelt bij dit soort redenering de bijzondere geaardheid van de hedendaagse kunst geen wezenlijke rol.

Bij de tweede soort redenering staat de zaak anders. Hier wordt het moeilijk toegankelijke van veel hedendaagse kunst op rekening gesteld van haar abstrakt karakter. Weliswaar wordt het begrip ‘abstrakt’ dan in sterke mate verruimd, maar dat lijkt me geen overwegend bezwaar; ook al eist één

bepaalde kunstrichting met zeker recht de aanduiding als ‘abstrakte kunst’ bij uitsluiting voor zich op, dit neemt niet weg dat ook andere kunstuitingen van onze tijd een ‘abstrakt’ karakter bezitten en juist op die grond minder toegankelijk zijn. Met een beroep op de leer van de tijdgeest wijst men vervolgens op het abstrakte karakter van de hedendaagse wetenschap om zodoende het abstrakte karakter van de hedendaagse kunst te rechtvaardigen.

Beide soorten van redenering zijn klaarblijkelijk formeel in hoge mate aanvechtbaar, maar dat vind ik nog lang niet het ergste bezwaar. Ik vind het veel ernstiger dat ze een aanslag betekenen op de vrijheid van (de individuele leden van) ‘het publiek’. Dezen immers worden juist getroffen op het punt waar ze zich zwak gevoelen, te weten in hun onzekerheid terzake van de beoordeling van hedendaagse kunstuitingen. Volgens de eerste soort redenering blijkt uit deze onzekerheid een verstoken zijn van kreativiteit; de tweede soort redenering schrijft bedoelde onzekerheid toe aan onvermogen tot abstrakt denken. Beide soorten van redenering appelleren derhalve aan latent aanwezige gevoelens van inferioriteit. Op langere termijn beschouwd kan dat soort apologetiek alleen maar schade opleveren voor de geestelijke volksgezondheid.

Van rechtstreekse bestrijding van de zojuist gebrandmerkte apologetiek verwacht ik niet zo heel veel. Vruchtbaarder lijkt me een poging, enig inzicht te verkrijgen in de achtergronden zowel van de apologetiek der hedendaagse kunst als van de reakties van de zijde van ‘het publiek’ waartegen deze apologetiek zich richt, en wellicht zelfs (maar dit zeg ik met zeer veel voorbehoud) van die minder toegankelijke kunstuitingen waarop de bedoelde reakties betrekking hebben.

Bij zulk een poging zou ik willen uitgaan van de hypothese volgens welke deze achtergronden moeten worden gezocht in gevoelens van onzekerheid terzake van aesthetische waarden en normen die in onze tijd zeer verbreid zijn18).

Deze hypothese kan m.i. steun ontlenen aan twee overwegingen:

1e.	De sterke verbreiding van gevoelens van onzekerheid als hier bedoeld is aan de hand van onze kennis van allerlei omstandigheden verklaarbaar;

2e.	Dat deze gevoelens moeten leiden zowel tot de beschreven schreven reakties van ‘het publiek’ als tot de apologetiek der hedendaagse kunst is evenzeer aannemelijk.

ad 1e. Ieder mens bezit een aangeboren schoonheidszin. Deze uitspraak kan aanleiding geven tot misverstand en een nadere toelichting is dus vereist. Ik bedoel geenszins dat demens ter wereld komt met een aangeboren stelsel van aesthetische waarden en normen. Wel neem ik aan dat de mens van nature behept is met spontane reakties en gedragingen waarin een zekere aesthetische voorkeur tot uitdrukking kan komen.

De in een bepaalde tijd min of meer algemeen aanvaarde aesthetische waarden en normen ontstaan door een wisselwerking tussen de aangeboren schoonheidszin van de mensen, de omgeving waarin en de omstandigheden onder welke zij leven en de in de maatschappij reeds aanwezige tradities._ Deze wisselwerking kan alleen dan een stabiel resultaat opleveren als de levensomstandigheden niet te snel veranderen. Voor de individuele mens bestaat dan de mogelijkheid, op de grondslag van de aangeboren schoonheidszin een besef van aesthetische waarden en normen te verwerven dat zich kan manifesteren als goede smaak, als kunstzin en als artistieke kreativiteit.

De eerder omschreven gevoelens van onzekerheid wijzen op het ontbreken van een stabiel besef van aesthetische waarden en normen en daarmee op een storing van de zojuist bedoelde wisselwerking. Het optreden van zulk een storing in onze tijd is m.i. alleszins verklaarbaar. Onze levensomstandigheden zijn aan steeds snellere veranderingen onderhevig. Het pluralistisch karakter van onze beschaving19) brengt het individu in aanraking met een veelheid van uiteenlopende eenlopende tradities. Wellicht ook heeft de dosis lelijkheid die de moderne industriële beschaving vooral in haar eerste ontwikkelingsfasen de mensen te verteren heeft gegeven bij enkele generaties een atrofie van de aangeboren schoonheidszin teweeggebracht.

ad 2e. Zelfs bij gebreken aan een stabiel besef van aesthetische waarden en normen is de mens doorgaans nog wel in staat, zijn oordeel te bepalen ten overstaan van kunstuitingen uit een niet al te ver verleden, waarvan de interpretatie en

de waarde door de traditie worden gewaarborgd. Bij nieuwe en daarbij moeilijk toegankelijke kunstuitingen laat de traditie hem echter al spoedig in de steek20). Bij de meeste mensen zal dit ertoe leiden dat de latent aanwezige gevoelens van onzekerheid manifest worden en dat men toegankelijk wordt voor apologetiek.

Bij daartoe gedisponeerde naturen kan evenwel een enigszins andere reaktie optreden. De ontmoeting met bepaalde kunstuitingen kan ertoe leiden dat men bij zichzelf een nieuw besef van aesthetische waarden en normen tot ontwikkeling brengt. Dit besef komt dan in de regel niet organisch tot stand, het blijft belast met gevoelens van onzekerheid en houdt dientengevolge iets krampachtigs. Zo kan de neiging ontstaan tot een apologetiek die door ‘bekering’ van anderen aan eigen innerlijke onzekerheid het zwijgen tracht op te leggen.

Indien de hier voorgedragen proeve in grote trekken geslaagd mag heten en langs de hier kort aangeduide weg het verlangde inzicht kan worden verkregen dan is daarmee, ik wil dit gaarne onderstrepen, nog geenszins een eind gemaakt aan de bestaande onzekerheid en aan de daardoor uitgelokte apologetiek. Maar er is wel een grondslag gelegd voor een rationele beschouwing van de aesthetische problemen van onze tijd en daarmee voor een redelijke gedachtenwisseling die de plaats zal kunnen innemen van veel onvruchtbare apologetiek.

Zulk een redelijke gedachtenwisseling zal dan op de duur wellicht iets kunnen bijdragen tot het ontstaan van die levensomstandigheden die de mens nodig heeft om in vrijheid te komen tot een hernieuwd en verdiept besef van aesthetische waarden en normen.